UNIDAD 3. LAPLACE Y SERIES DE FOURIER

UNIDAD 3 ECUACIONES DIFERENCIALES

PRESENTADO POR: CRISTIAN DAVID RAMOS CARDOZO

PRESENTADO A: Ing. MARIO DE JESUS CHAVARRIA MUÑETON

GRUPO 052

INTRODUCCIÓN 

Mediante la siguiente entrada de blog, PORTAFOLIO Correspondiente a la unidad 3 de la asginatura de ECUACIONES DIFERENCIALES, me permito relacionar las tematicas impartidas por el docente, explicando en que consiste cada una de ella, anexando referencias audiograficas para la correcta comprension de los temas, que gracias a la amplitud de conocimientos del docente hizo que estos se esclarecieran satisfactoriamente.

Las tematicas impartidas fueron todo lo que se abarca en E.D.

----> TRANSFORMADA DE LAPLACE

----> SERIES DE FOURIER

El proposito mas importante de este blog es la presentacion y evidencia de que los temas impartidos por el docente fueron comprendidos, para a su vez poder explicarlo con los metodos que conozco. 

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ORDEN DE TEMAS IMPARTIDOS

---> TEMA 1: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

---> TEMA 2: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

---> TEMA 3: APLICACIÓN DE TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL.

---> TEMA 4: SERIES DE FOURIER 

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---> TEMA 1: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.


Sea f una función definida para t>= 0

PROPIEDADES

1. Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace:

La transformacion de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones f, g ∈ E se verifica

Propiedad de desplazamiento en frecuencia

Sea f(t) ∈ E. La funci´on g(t) = e ωtf(t) tambi´en pertenece a E y se verifica

TENEMOS EJEMPLOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS POR TRANSFORMADA DE LAPLACE

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2 

VIDEO EXPLICATIVO 1 

VIDEO EXPLICATIVO 2

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---> TEMA 2: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

Si es que a caso

Esta definición obliga a que se cumpla:

VIDEOS EXPLICATIVOS DE LAPLACE INVERSA

VIDEO EXPLICATIVO 2

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---> TEMA 3: APLICACIÓN DE TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL.

Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de resolver ED lineales con condiciones iniciales.
El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes pasos.
Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED
Utilizar las propiedades de l

a transformada para que solo quede en términos de L{y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre de ecuación algebraica o subsidiaria.
Aplicar la transformada inversa para despejar y(t)

VIDEO EXPLICATIVO 1

VIDEO EXPLICATIVO 2

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---> TEMA 4: SERIES DE FOURIER 

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua. Puede ser solo a trozos de funciones (por partes), pero contínua en esas partes. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras)

Las series de Fourier tienen la forma:

donde ${\displaystyle a_{n}\,\!}$ y ${\displaystyle b_{n}\,\!}$ se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función ${\displaystyle f(t)\,\!}$.

Si ${\displaystyle f(t)\,}$ es una función de variable real ${\displaystyle t}$, que es integrable en el intervalo ${\displaystyle [t_{0}-T/2,t_{0}+T/2]}$ entonces se puede obtener el desarrollo en serie de Fourier de ${\displaystyle f\,}$ en ese intervalo. Fuera del intervalo la serie es periódica, con período ${\displaystyle T\,}$.

Si ${\displaystyle f(t)\,}$ es periódica en toda la recta real, la aproximación por series de Fourier también será válida en todos los valores de ${\displaystyle t\,}$.

donde ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{n}}$ son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

VEAMOS UN EJEMPLO DE SERIES DE FOURIER 

VIDEOS EXPLICATIVOS MAS INTRODUCTIVOS DEL TEMA

VIDEO EXPLICATIVO 1

VIDEO EXPLICATIVO 2

---> SERIE DE SENOS Y COSENOS 

Dada una función en el intervalo [0,p], los desarrollos de Fourier de senos o de cosenos permiten extender a todo el eje real la función como una función 2p-periódica, con simetría impar o par en un periodo.

Si ahora las funciones fp(x) y fi(x) definidas antes se extienden a todo el eje real como funciones 2p-periódicas, sus desarrollos son:

FUNCION PAR SERIE DE COSENOS :

VIDEO EXPLICATIVO 1

VIDEO EXPLICATIVO 2

---> SERIE DE Semi Intervalos

VIDEO EXPLICATIVO 1

VIDEO EXPLICATIVO 2

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FINALMENTE 

RESUMEN SINOPSIS DE LA TEMATICA

Despues de un arduo trabajo la compresion de la tematica impartida en todo lo que comprende Transformada de Laplace y Series de Fourier fue un exito. 

Estos nuevos conocimientos y la forma de como puedo utilizar estos calculos a la hora de que lo requiera, me seran de mucha ayuda. 

Recomendaciones para la compresión.

*TENER CONOCIMIENTOS DE DERIVACION

*TENER CONOCIMIENTOS DE INTEGRACION

*TENER DISPOSICIÓN POR LA TEMATICA, PUESTO QUE REQUIERE UN NIVEL DE ATENCION MUY ALTO

El compromiso con la asignatura lo es todo. Muchas gracias 

CRISTIAN DAVID RAMOS CARDOZO 

TECNOLOGIA EN SISTEMAS MECATRONICOS

GRUPO 052 

MEDELLIN ANTIOQUIA 

INSTITUCION UNIVERSITARIA PASCUAL BRAVO

2021

PRESENTADO A: ING. MARIO DE JESUS CHAVARRIA.